ريض i 366                 المسار: ( توحيد المسارات )                                            صفحة (i1)                                                  لاحظ أن أسئلة الامتحان في i8صفحات

مملكة البحرين

وزارة التربية والتعليم

إدارة الامتحانات  / قسم الامتحانات

نموذج الامتحان من الوزارة 

امتحان الدور الثاني للتعليم الثانوي للعام الدراسي i2012/2011

اسم المقرر: الرياضيات i6                                                                                                                                                 المسار: توحيد المسارات

رمز المقرر: ريض i366                                                                                                                                                   الزمـــن: ساعتان =========================================================================================================

                                                                                     أجب عن جميع أسئلة هذا الامتحان وعددها ( i( 8                                                            الدرجة النهائية i100

الملاحظات

الامتحان

 i10 درجات  , درجتان لكل فقرة

i1) نجزىء الكسر لكسرين مع ملاحظة أنَّ 

 

 

         tan x

  lim ——— = 1

 x→0    x

 

         X + tan X                X                 tanX 

  lim  ————— = lim —— +   lim ———

X→0        X             X→0  X        X0    X 

 

 

                        = 1 + 1 = 2

 

i2)انعلم أنَّ: مشتقة (i(sinX/2هي (i½ )cos(X/2)

ƒ\(X) = (i1/2)cos(X/2)  ƒ\(p) = (i½)cos(p/2)

          = (½)×0 = 0

 i3) ميل المماس عمودي على مستقيم ميله i1فميل المماس

      هو i1لأن حاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين هوi1

       ميل المماس هو المشتقة الأولى أي \ (x1 ويكون:

ƒ \ (x1) = 1

 

i4) نطبق خاصية الجمع لتكامل دالتين ( التوزيع )

(ƒ(x)+2x ) dx=ƒ(x) dx +2x dx

 

     تكامل i2xفي الفترة والناتج i21

     تنقل i21للطرف الأيسر والناتج للتكامل يكون i4

     تبديل حدي التكامل يغير إشارة قيمة التكامل .

      ناتج التكامل = i4

 

 

i5) المتباينة  ib > 2تعني i|x| = xفتصبح الدالة i3x2

     بالتكامل والتعويض يكون ib3 8= 56

      نحل المعادلة

b = 4

—————————————

i13 درجة  , i1) خمسة , i2) أربعة , i3) أربعة

i1) الزاوية x = 45o فيكون

 y = csc2(45o) = 2 , z = 23 = 8

     نشتق z , y (مشتقة الدالة الأسية تساوي الأس مضروب

     في الدالة بأس 1 في مشتقة الأساس

f(x) = (g(x))n   f\(x) = n(g(x))n-1 g\(x)

     نطبق قاعدة التسلسل

     التعويض والجواب مع ملاحظة:

6 y2 csc2x cotx =6 y3 cotx =6×8=48

 

i2)  نشتق

      نضع x = 2 لأنها تحقق x3 + 1 = 9

      أو حل المعادلة x3 + 1 = 9 للحصول على قيمة x

      بالتعويض عن x= 2

 

 

i3) نوجد المشتقة الأولى

     الاستقاق لدالة ضمنية وكذلك لحاصل ضرب دالتين

     (5xy)\ = 5xy\ + 5y

         بالتعويض

      المعادلة : (y y1 = m (x x1

      الاختصار

      المطلوب

 

 

—————————————

i9 درجة  , i1) خمسة درجات , i2) أربعة درجات

i1) المقطع شكل مربع , القضيب على شكل متوازي مستطيلات

      حجم متوازي المستطيلات V حيث: V = x2 L

      كل من V, x, L مرتبط بالزمن والاشتقاق هنا للطرف

      الأيسر كحاصل ضرب دالتين والاشتقاق هنا بالنسبة للزمن

      الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول

  1 m = 100 cm , V\ هو معدل التغير في الحجم  

L\ معدل التغير في طول القضيب , x\ معدل التغير في ضلع القاعدة

 

 

 

i2) مشتقة المسافة S تعطى السرعة V، مشتقة السرعة تُعطي

     العجلة A . أو المشتقة الثانية للمسافة \\ S يُعطي العجلة.

     مشتقة الدالة sin t هي cos t, مشتقة cos t هي sin t

     cos p = cos(180o) = 1

     sin 2x = 2sin x cos x  دالة ضعف الزاوية

 

 

 

—————————————

i15 درجة  , i1) تسعة درجات , i2) ستة درجات

i1) أكبر ما يمكن للمساحة يعني مشتقتها الأولي تساوي الصفر

     الشكل التالي يبين شكل المستطيل وأبعاده .

 

      مساحة المستطيل (A) تساوي الطول (BC)×العرض(AB)

     للتأكد من كون المساحة أكبر ما يمكن نتأكد من أنَّ المشتقة

     الثانية سالبة .

 

i2) ميل المنحنى هو المشتقة الأولى

     نقطة حرجة تعنى المشتقة عندها تساوي الصفر

     النقطة واقعة على المنحنى تعني تحقق معادلته

     بتكامل الميل أي المشتقة الأولى نحصل على y أي (ƒ(x

     نوجد ثابت التكامل من التعويض عن النقطة الحرجة

     نكتب معادلة المنحنى

 

 

 

 

—————————————

 i18 درجة

 

i1) نوجد المشتقة الأولى لتحديد فيترات التزايد والتناقص

     نحصل على قيم X التي عندها نقاط حرجة من ƒ\(X)=0

     ونعوض عنها للحصول على قيم Y والنقاط الحرجة.

     نبحث إشارة \ƒ لمعرفة فترات التزيد والتناقص

     لاحظ: المقصود بإشارة X 2 هنا معامل X 2 وهي إشارة a

            في المعادلة aX 2 + bX  + c = 0

            في صورة الخط المستقية aX + by + c = 0

            إشارة X تعني إشارة a

     الرسم أدناه يكتفى منه رسم المنحنى وإظهار النقاط فقط

     وغيره للتوضيح ولكن لا مانع منه

 

بالإمكان عمل الجدول الآتي ونستفيد منه في الحل.

 

 

للتفاصيل وبالعربية أضغط على الرابط الآتي:

http://jmasi.com/analysisa/derivefm.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

—————————————

i12 درجة  , ia) أربعة , ib) أربعة , ic) أربعة

ia) النسبة × مقلوبها = i 1

secx cosx = (1/cosx)cosx = 1

 

ia) تكامل الدالة الأسية × مشتقة أساسها هو الدالة الأسية بزيادة

     أسها i1صحيح وقسمتها على الأس الجديد(دالة × مشتقتها)

 [f(x)]n f \(x)=[f(x)]n+1/(n+1)

     ضربنا × ستة وقسمنا عليها للحصول على مشتقة الأساس

ic) لاحظ أنَّ : sin2x + cos2x =1

     نأخذ cos x عامل مشترك ونستبدل i1 cos2xبما

     تساويه وهو sin2x - نطبق تكامل دالة × مشتقتها

 

 —————————————

 

 i13 درجة  , i1) أربعة , i2) تسعة    

 

i1) نطبق القاعدة

[f(x)]n f \(x)=[f(x)]n+1/(n+1)

 

 

 

i2) بالمساواة نجد أنَّ: i2x x2 = 3ومنها نوجد قيم x

     وهي حدي التكامل للفرق بين المستقيم ومنحنى كما مبين

     بالشكل الآتي ( لا داعي لوجوده في الحل وإن كان الأفضل).

 

 

—————————————

   i10 درجة

i1) الحل بالتكامل بالتعويض بمعنى تحويل الدالة في المسألة

     لدالة قياسية يسهل تكاملها لذا نحول الدالة الجبرية في X

     لدالة مثلثية وذلك بوضع

 

 

 

 

X = 3 tanq

    التعويض هنا لحدي التكامل والدالة و dx  

    

 

 

 

 

 

 

 

 

—————————————

السؤال الأول:

اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي , علماً بأنه توجد إجابة صحيحة واحدة من بين البدائل الأربع التي تلي كل فقرة :

 

    X + tan X            

    ؟  lim  —————   ما القيمة (i1

    X0        X                      

 

 

                                                              1

 2   (D                       1    (C                   —    (B                        0    (A 

                                                              2

                                          ü

                

                     X  

i2) إذا كانت ƒ(X) = sin —i , فما قيمة ( ƒ\( p 

                 i2

 

 

                                                                     1                                                               1

1   (D                       —  (C                  0   (B ü                    —    (A      

                   i2                                                               2

  

i3) إذا كان المماس لمنحنى ( y = ƒ(X عند النقطة (x1 , y1) الواقعة على المنحنى , وعمودياً على المستقيم

     x + y = 4 , فمل قيمة (ƒ \ (x1 .

      i   (D                          1    (C  ü           0   (B                       1     (Aغير معرفة

 

                                      2                        5

i4) إذا كان i( ƒ(x) + 2x) dx = 17, فما قيمة ƒ(x) dx   ؟

                          5                        2

 

ا

                              4   (D                      4    (C ü                    11   (B                     25  (A

الحل

 

      5                                  5                   5               5                                     5

i4)  (ƒ(x)+2x ) dx=17 ƒ(x) dx + x2= 17 ƒ(x) dx+(254) =17ƒ(x) dx =−4

     2                                  2                    2             2                                      2                   

       2                           

      ∫ƒ(x) dx = −(4) = 4

     5

                                                  b

i5) إذا كان ib > 2, وكان i3 x |x| dx = 56  فما قيمة b ؟

                                   2

 7   (D                      6    (C                         5   (B                      4  (A ü   

       b                             b       

      ∫3x2 dx = 56 x3= 56 b3 8 = 56 b3 = 64 b = 4

     2                               2

—————————————

السؤال الثاني:

                             p           dz

i1) إذا كان y = csc2 x ،اz = y3 فأوجد عندما  = x

                              4            dx

  الحل

   dz        dz        dy

 —— = . — 

   dx        dy      dx

 

 

   dz

 —— =3y2 . 2cscx(cscx cotx) = 6 y2 csc2x cotx

   dx

 

   dz

 —— =−6 y2 csc2x cotx   [ y = csc2(45o) = 2 , cot(45o) = 1 ,  ]

   dx

 

 

   dz

 —— =6×4×2×1 = 48

   dx

           p

         x=

               4

 

i2) إذا كانت (ƒ(x قابل للاشتقاق . وكانت ƒ(x3 + 1) = 12x فأوجد (iƒ\(9.

 الحل

     بالاشتقاق i 3x2 ƒ\(x3 +1) = 12, وبوضع x = 2 نجد أنَّ:

3×4ƒ\(8 +1) = 12 12ƒ\(9) = 12  ƒ\(9) = 1

 

                                       dy

i3) إذا كانت ix2 5xy y2 = 7فأوجد — عند ( i1 , 2) الواقعة على منحناها .

                                       dx

  الحل

             dy                dy

2x 5x 5y 2y — = 0          (i1 , 2 ) بالتعويض عن النقطة

             dx                dx

 

 

                 dy                           dy

2×1 5×1 5×2 2×2 = 0

                 dx                           dx

 

 

            dy                  dy                  dy

2 5 + 10 +4 = 0 —  = 12

            dx                  dx                  dx

 

 

 

  dy  

—  = 12

  dx(1,2)

 

—————————————

السؤال الثالث:      

i1) سُخن قضيب معدني مصمت (غير مجوّف) مقطعه على شكل مربع , فازداد طول القضيب بمعدل

    i0.01 cm/min, وفي الوقت نفسه ازداد طول ضلع مقطعه بمعدل  i0.005 cm/min, أوجد معدل

    التغيُر في حجم القضيب , عندما يكون طوله  i1 m, وطول ضلع مقطعه  i1.4 m 

الحل

بفرض أنَّ طول ضلع المقطع ixوطول القضيب L

V = x2 L

V\= x2 L\ +2x x\ L

    = (1.4)2×0.01 + 2×1.4×0.005×100

    = 0.0196 + 1.4

    = 1.4596

 

  dV

 — =1.4596 cm3/min

  dt

 

i2) يتحرك جسيم على خط مستقيم مبتدأًّ من نقطة ثابتة وفقاً للعلاقة S = 8 sin2 t حيث S هي المسافة المقطوعة بالامتار (m) ,

 

                    p

     t الزمن بالثواني (sec) . أوجد تسارع (عجلة) الجسيم بعد sec ـــــ من بدء الحركة .

                    2

                                                                             الحل

S = 8 sin2 t V = 8×2sin t cos t = 8 sin 2t

A= 16 cos 2t

 

 

A= 16 cos p =16 × 1 = 16 m / sec2

 

 │    p

   x=

        2

—————————————

السؤال الرابع: 

i1)اABCD مستطيل فيه AB + 3BC = 12 cm , أوجد كلاً من AB , BC بحيث تكون مساحة المستطيل أكبر ما يمكن .

     الحل

     بفرض أنَّ  BC = X فإنّ َ AB = 12 3X

A = X (12 3X) = 12X 3X 2

A\ = 12 6X

 o = 12 6X

 X = 2

 BC = 2 cm , AB = 12 3×2 = 12 6 = 6 cm

A\\ = 6 المساحة أكبر ما يمكن

 

i2) إذا كان ميل المماس لمنحنى (y = ƒ(X  عند أي نقطة (X  , y) واقعة عليه هو m = aX 8 حيث R ,

     فأوجد كلاً من قيمة a ومعادلة المنحنى , علماً بأنَّ (i(4 , 1نقطة حرجة على المنحنى .

الحل

m = aX 8 0 = a×4 8 بالتعويض عن النقطة الحرجة

0 = 4a 8 a = 2

m = 2X 8 = y\

y = (2X 8) d = X2 8X  + C  (C ثابت التكامل)

y = X2 8X  + C     بالتعويض عن النقطة المعطاة لأنها واقعة على المنحنى

1 = 16 32 + C C = 17

y = X2 8X  + 17

     —————————————

السؤال الخامس:

     إذا كانت ƒ(X) = X3 6X 2 + 9X + 1 ,

i1) أوجد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i2) أوجد القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i3) أوجد فترات التقعر إلى أعلى وفترات التقعر إلى أسفل ونقاط الانقلاب للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i4) مثل الدالة بيانياً بصورة تقريبية في المستوى الإحداثي أدناه.

الحل

ƒ\ (X) = 3X 2 12X + 9 0 = 3(X 2 4X + 3) 0 = (X 1)(X 3)

X = 1 , X = 3       عندها نقاط حرجة

ƒ(1)=16+9+1=5 , ƒ(3)=2754+27+1=1 , (1 ,  5) , (3 , 1)  نقاط حرجة

         الدالة ƒ متناقصة في [ i[ 1 , 3, ومتزايدة  في ( ¥i(¥ , 1 ] , [ 3 ,i

     للدالة ƒ قيمة صغرى محلية عند (i(3 , 1(تغيرت إشارة الدالة قبل i3عن بعد i3من سالب لموجب).

     للدالة ƒ قيمة عظنى محلية عند (i(1 , 5(تغيرت إشارة الدالة قبل i1عن بعد i1من موجب لسالب).

ƒ\\ (X) = 6X 12 0 = 6(X 2) X = 2 ƒ(2) =824+18+1 = 3  (2 , 3)  نقطة انقلاب

 

المنحى ƒ مقعر لأسفل في ( i(¥ , 2, ومقعر لأعلى في ( ¥i ( 2 ,i

ƒ(0) = 1 , ƒ(4) = 64 96 + 36 + 1 = 5  لإيجاد نقاط إضافية

  (0 , 1) , (4 , 5)  نقاط إضافية لرسم المنحنى

—————————————

السؤال السادس:

     أوجد كلاً مما يأتي:

 a) sec x cos x dx = dx = x + c       النسبة × مقلوبهاi = 1

 

b) (x2 + 1)(2x3 + 6x + 1)6 dx = 1/6 (6x2 + 6)(2x3 + 6x + 1)6 dx

 

1       (2x3 + 6x + 1)7

= × ———————— + c

6                   7

 

 

 

1

= (2x3 + 6x + 1)7 + c

42

 

  c) ( cos x cos3x )dx = cos x(1 cos2x )dx =cos x(sin2x )dx

 

            sin3x                 

       = ——— + c

                   3  

 

—————————————

السؤال السابع:

 

                                            ip

                                           —

                                            i4

i1) احسب قيمة  tan3  sec2 x dx

                                       i0  

(tan x)\ = sec2 x

 

   p                                             p

  —                                            —

  i4                                              4

 ∫tan3 x sec2 x dx = ¼ [ tan4 x ] = ¼ ( 1 - 0) = ¼

0                                                 0  

 

i2) أوجد مساحة سطح المنطقة المحصورة بين منحنى y = 2x x2 , والمستقيم y = 3 .

     الحل

2x x2 = 3 x2 2x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x =−1 , x = 3    حدي التكامل

y1 y2 = ( 3 ) ( 2x x2 ) = 3 2x + x2

 

           3                                                                      3

A =( 2x x2 (3 )) dx│=[ x2 x3/3 + 3x]

        −1                                                                     1

                                       =[ 32 33/3 + 3×3] [ (1 )2 (1 )3/3 + 3(1)]

                                       =9 9 + 9 1 1/3 + 3

 

 

                                                        32

                                        = —— وحدة مربعة

                                              3

—————————————

السؤال الثامن:

 

                                      i3

                              i3

     احسب قيمة dx ————

                                                                                                 0     x2 + 9              

الحل

x = 3 tanq    بوضع

x = 0 0 = 3 tanq tanq  = 0 q = 0

x = 3 3 = 3 tanq tanq  = 1 q = p/4

x = 3 tanq  → dx = 3 sec2q dq

x2 + 9 = 9 tan2q  + 9 = 9(tan2q  + 1) = 9 sec2q

 

 

    i3                       p/4                                      p/4

             3                          3                

  ———— dx = —— 3 sec2q dq   dq

0       x2 + 9          0      9 sec2q                         0    

 

 

 

                                p/4

                       = q

                                   0

                       =  p/4 0

 

 

                           p

                       =

                            4

—————————————