ريض i 366                 المسار: ( توحيد المسارات )                                            صفحة (i1)                                                  لاحظ أن أسئلة الامتحان في i8صفحات

مملكة البحرين

وزارة التربية والتعليم

إدارة الامتحانات  / قسم الامتحانات

نموذج الامتحان من الوزارة 

امتحان نهاية الفصل الدراسي الثاني للتعليم الثانوي للعام الدراسي i2012/2011

اسم المقرر: الرياضيات i6                                                                                                                                                 المسار: توحيد المسارات

رمز المقرر: ريض i366                                                                                                                                                   الزمـــن: ساعتان =========================================================================================================

                                                                                     أجب عن جميع أسئلة هذا الامتحان وعددها ( i( 8                                                            الدرجة النهائية i100

 i10 درجات  , درجتان لكل فقرة

i1) نجزىء الكسر مع ضرب الجزىء الثاني × (i(2÷3لكون

 

 

         sin2x

  lim ——— = 1

 x→0   2x

 

         3X + sin2X              3X        2         sin2X       3

  lim  ————— = lim —— +  lim ——— × —

X→0      3X             X→0 3X        3 X0   3X        2

 

                                        2      5

                        = 1 + — =

                                   3      3

i2)انعلم أنَّ: i1+tan2X=sec2Xأي sec2X tan2X=1

ƒ(X) =1 ƒ\(X) =0 فالمطلوب = صفر

 

i3) نوجد المشتقة ونساويها بالصفر ثم نحسب قيم X المطلوبة

 ƒ(X) = X3 + 3X2 + 1 ƒ\(X) = 3X2 + 6X

 3X2+6X =0 3X(X+2)=0 X=2 , X= 0

 

i4) قيمة التكامل تساوي الصفر عند تساوي حدئ التكامل وهذا

     محقق هنا فالإجابة الصحيحة هي الصفر

 

i5) المساحة بين ƒ1 , ƒ2 في الفترة [a , b] تساوي القيمة

     المطلقة لتكامل الفرق بينهم في الفترة [a , b].

     الشكل أدناه يبين معلومات المسألة مع ملاحظة أنَّ المساحة

     تحت المحور السيني سالبة وفوقه موجبة.

—————————————

i10 درجة  , i1) خمسة درجات , i2) خمسة درجات

i1) قيمة الزاوية t هي i270oوأن i  sin270o =−1

     نوجد مشتقة x بالنسبة إلى t

(cost)\ = − sint

     ونطبق قاعدة التسلسل :

  dx        dt       dx

 —— = . —

  dz        dz       dt

     التعويض 

       الجواب

 

i2) نوجد المشتقة الأولى  ( ميل المماس ).

     نعوض في المشتقة للحصول على قيمة الميل.

     الاستقاق لدالة ضمنية وكذلك لحاصل ضرب دالتين

     نعوض في معادلة المماس بمعلومية الميل والنقطة.

      المعادلة : (y y1 = m (x x1

       الاختصار والمطلوب

—————————————

i11 درجة  , i1) خمسة درجات , i2) ستة درجات

 

i1) نفرض طول للقاعدة x فالارتفاع يساوي i0.5 x

      مساحة المثلث =i0.5طول القاعدة × الارتفاع

       بالاشتقاق والتعويض نحصل على المطلوب

 

 

 

i2)إنشتق y مرتين متتاليتن للحصول على المشتقة الثانية

      في المشتقة الثانية نستبدل sin ax بـ y

     بالتعويض عن قيمة المشتقة الثانية المعطاة

     الاختصار

     الجواب

 

—————————————

i16 درجة  , i1) تسعة درجات , i2) سبعة درجات

i1) بفرض بعدي المستطيل x , y

     نوجد محيط المستطيل ونوجد مساحة المستطيل

      بحذف y من معادلة المساحة بالتعويض عما تساويه من

      معادلة المحيط ونشتق A ونضع الناتج يساوي صفر

      نحسب قيمة x ثم نوجد y والتأكد من المشتقة الثانية من

      كونها ذات قيمة سالبة لتكون المساحة أكبر ما يمكن.

 

 

i2) من علاقة السرعة , وبالتكامل نحصل على بُعد الجسيم.

     من علاقة السرعة , وبالتفاضل نحصل على الاعجلة.

     في الغالب عند بدء الحركة تكون المسافة صفر والزمن

     صفر ما لم ينص خلاف ذلك. 

      

—————————————

 i18 درجة

i1) نوجد المشتقة الأولى لتحديد فيترات التزايد والتناقص

     نحصل على قيم X التي عندها نقاط حرجة من ƒ\(X)=0

     ونعوض عنها للحصول على قيم Y والنقاط الحرجة.

     نبحث إشارة \ƒ لمعرفة فترات التزيد والتناقص

     لاحظ: المقصود بإشارة X 2 هنا معامل X 2 وهي إشارة a

            في المعادلة aX 2 + bX  + c = 0

            في صورة الخط المستقية aX + by + c = 0

            إشارة X تعني إشارة a

     الرسم أدناه يكتفى منه رسم المنحنى وإظهار النقاط فقط

     وغيره للتوضيح ولكن لا مانع منه

 

 

للتفاصيل وبالعربية أضغط على الرابط الآتي:

http://jmasi.com/analysisa/derivefm.htm

 

 

 

 

 

—————————————

i12 درجة  , ia) خمسة , ib) ثلاثة , ic) أربعة

ia) إذا كان حدي التكمل متساوي لمجموع تكاملين لدالتين

     فالناتج نفس التكامل بحديه لمجوعهم أي:

 

  b                b                b 

ƒ1(x).dx+ƒ2(x).dx=ƒ1(x).dx+ƒ2(x).dx

a               a                a

 

      لاحظ أنَّ : sin2x + cos2x =1

 

ib) إذا ضُربت الدالة الأسية في مشتقة أساسها فناتج التكامل

     للدالة الأسية هو الدالة الأسية بزيادة أسها واحد صحيح

     وقسمنتها على الأس الجديد.

     مشتقة أساس الدالة ذات الأس i4وأخذ i3عامل مشترك

(x3 + 3x2 + 3x + 5)\ = 3x2 + 6x + 3

                                     = 3(x2 + 2x + 1)

    أو نضرب المقدار x2 + 2x + 1 في i3ونقسم على i3كما

    ورد في الحل هنا.

ic) بقسمة كل من حدي البسط على المقام

     استخدام قوانين المثلثات  كالآتي:

  1 / sin2x = csc2

  cos(x) / sin2x = cot(x) csc(x) 

     إجراء التكامل , الجواب

—————————————

i13 درجة  , i1) أربعة , i2) تسعة

i1) نعيد تعريف دالة المقياس حول الصفر (صفر الدالة).

    الدالة متصلة في الفترة [ i3 , 0]

[3 , 0]x=xƒ(x)=3x(x)=−3x2

[0 , 1]x= xƒ(x)=3x(x)=3x2

     الرسم التالي لمقياس x , وتعريفه في الفترة [ i3 , 0]

i1) بالمساواة نجد أنَّ: x2 = x + 2 ومنها نوجد قيم x وهي

     حدي التكامل للفرق بين المستقيم ومنحنى كما مبين بالشكل

     الآتي ( لا داعي لوجوده في الحل وإن كان الأفضل).

—————————————

i10 درجة

i1) الحل بالتكامل بالتعويض بمعنى تحويل الدالة في المسألة

     لدالة قياسية يسهل تكاملها لذا نحول الدالة الجبرية في X

     لدالة مثلثية وذلك بوضع

 

 

 

  — 

X = 3 tanq

    التعويض هنا لحدي التكامل والدالة و dx  

    

 

 

 

 

 

 

 

 

—————————————

السؤال الأول:

اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي , علماً بأنه توجد إجابة صحيحة واحدة من بين البدائل الأربع التي تلي كل فقرة :

 

    3X + sin2X            

    ؟  lim  —————   ما القيمة (i1

    X0        3X                      

 

 

  2                                5                            1

    (D                       —    (C                   —    (B                        0    (A 

  3                                3                            2

               ü

                

                                                                                  p

i2) إذا كانت  ƒ(X) = sec2X tan2X , فما قيمة ( — )\ƒ

                                                                  i4

 

 

2   (D                       1  (C                  0   (Bü                     1  (A      

                                                               

i3) إذا كانت ƒ(X) = X3 + 3X2 + 1 , فما قيمة / قيم X التي تكون للدالة ƒ نقطة / نقاط حرجة

      2 , 0   (D ü            2 , 1    (C              2 , 2   (B               فقط i2  (A

 

 

 

                                      ip

i4) ما قيمة  sin5 x . dx  ؟

 

                               p

 

 

                                                        p

p   (D                        1  (C                     (B                        0  (Aü   

 

                                             i6

 

i5) يييّن الشكل أدناه , المنطقة A المحصورة بين الدالتين المتصلتين ƒ1 , ƒ2 في الفترة [a , b] , إذا علمت أن

     مساحة سطح المنطقة A تساوي i8وحدات مربعة , وأن مساحة سطح المنطقة المحصورة بين ƒ1 والمحور x في

                                                                                         b

     الفترة [a , b] تساويi12وحدة مربعة , فما قيمة ƒ1(x)ƒ2(x)].dx]  ?

ا

                                                                                         a

         

20    ( B                         8      ( A ü    

             20   ( D                        8     ( C         

   الحل

               b                                    b 

       A=2(x)ƒ1(x)].dx=[ƒ1(x)ƒ2(x)].dx= 8

              a                                     a

 

 

 

   لاحظ :

   مساحة سطح المنطقة المحصورة بين ƒ1 والمحور x في الفترة [a , b] =اi12

   مساحة سطح المنطقة المحصورة بين ƒ2 والمحور x في الفترة [a , b] =اi20

    قيمة التكامل المطلقة هي المساحة A كما هو مبين بالشكل.

—————————————

السؤال الثاني:

                                                 3p       dx           dt    

i1) إذا كان x = cos t ،اi5= , فأوجد — عندما — = t

                                              2         dz           dz

  الحل

   dx        dt       dx

 —— = . — = 5 ×sin t  

   dz        dz       dt

 

 

   dx                           3p

 —— =−5 sin t , t = —  sin t = 1

   dt                            2

                                       =−5 ×1  

                                       = 5     

 

 

i2) أوجد معادلة المماس لمنحنى i4x2 + 2xy = y2 + 1عند ( i1 , 3) الواقعة على المنحنى .

  الحل

8x + 2xy\ + 2y×1 = 2yy\

(1 , 3): 8 × 1 + 2 × 1 y\ + 2 × 3 = 2 × 3 y\

           8 + 2y\ + 6 = 6 y\ 4 y\ = 14 2 y\ = 7

 

         7                                                            7

y\ = y y1 = m (x x1) y 3 = (x 1)

         2                                                            2

—————————————

السؤال الثالث:      

i1) صفيحة معدنية مثلثة الشكل , ارتفاعها يساوي نصف طول قاعدتها / تتمدد بالحرارة بحيث تزداد مساحتها بمعدل

    i0.05 cm2/sec. أوجد معدل التغيُر في طول قاعدتها عندما يصبح طولها  i10 cm

الحل

بفرض أنَّ طول القاعدة يساوي ixفأنَّ الارتفاع يساوي i 0.5

 

          1          1            1

A = x (x) = x 2     بالاشتقاق ينتج أنَّ

        2        2          4 

 

           1       dx

A\ = x —

         2      dt

 

 

               1           dx

0.05 = (10)

            2          dt

 

 

dx

= 0.01 cm/sec

 dt

 

                                                                                  d2y

i2) إذا كان y = sin ax ,اa > 0 , وكانi —— = 16 y, فما قيمة الثابت a ؟

                                                                                  dx2

الحل

y = sin ax y\ = a cos ax y\\ = a (a sin ax)

y\\ = a (a y) = a2 y

16y = a2 y a2 = 16 a = 4

—————————————

السؤال الرابع: 

i1) ثني سلك طوله i120 cmعلى شكل مستطيل , أوجد أبعاد هذا المستطيل بحيث تكون مساحة سطحه

     أكبر ما يمكن .

     بفرض بعدي المستطيل x , y  فإنَّ :

2x + 2y = 120 x + y = 60 y = 60 x

A = x y A = x(60 x) = 60x x2

A\ = 60 2x → o = 60 2x x = 30 y = 60 30 = 30   y = 30

A\\ = 2 المساحة أكبر ما يمكن

المساحة أكبر ما يمكن عندما x = 30 , y = 30 بمعنى أن يكون الشكل مربع

 

i2) يتحرك جسيم على خط مستقيم أبتداءً من نقطة ثابتة O . بحيث كانت سرعته ( m/sec )اV بعد ( sec )اt تعطى

     بالعلاقة V = 3t2 + 2t . أوجد كلاً من بُعد الجسيم عن   , وتسارعه ( عجلته ) عندما t = 5 sec .

الحل

S =V dt =(3t2 + 2t)dt = 3t3÷3 + 2t2÷2 + C = t3 + t2 + C , ( عندما t=0 فإن S=0 C=0 )

S = t3 + t2 S(5) = 53 + 52 = 125 + 25 = 150 m

A =V \ A = (3t2 + 2t)\ = 6t + 2     ( A عجلة الجسيم )

A(5) = 6 × 5 + 2 = 30 + 2 = 32 m/sec2

—————————————

السؤال الخامس:

     إذا كانت ƒ(X) = 1 + 3X 2 X3 ,

i1) أوجد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i2) أوجد القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i3) أوجد فترات التقعر إلى أعلى وفترات التقعر إلى أسفل ونقاط الانقلاب للدالة ƒ ( إن وجدت ).

i4) مثل الدالة بيانياً بصورة تقريبية في المستوى الإحداثي أدناه.

الحل

ƒ\ (X) = 6X 3X 2 0 = 3X(2 X) X = 0 , X = 2          عندها نقاط حرجة

ƒ(0) = 1 + 0 0 = 1 , ƒ(2) = 1 + 12 8 = 5  (0 , 1) , (2 , 5)    نقاط حرجة

 

 

 

 

 

         الدالة ƒ متزايدة في [ i[ 0 , 2, ومتناقصة في , ( ¥i(¥ , 0 ] , [ 2 ,i

     للدالة ƒ قيمة صغرى محلية عند (i(0 , 1(تغيرت إشارة الدالة قبل الصفر عن بعد الصفر من سالب لموجب).

     للدالة ƒ قيمة عظنى محلية عند (i(2 , 5(تغيرت إشارة الدالة قبل i2عن بعد i2من موجب لسالب).

ƒ\\ (X) = 6 6X 0 = 6(1 X) X = 1 ƒ(1) = 1 + 3 1 = 3  (1 , 3)  نقطة انقلاب

 

  

 

 

المنحى ƒ مقعر لأعلى في ( i(¥ , 1, ومقعر لأسفل في ( ¥i [ 1 ,i

ƒ(2) = 1 + 12 + 8 = 21 , ƒ(1) = 1 + 3 + 1 = 5 , ƒ(3) = 1 + 27 27 = 1

  (2 , 21) , (1 , 5) , (3 , 1)    نقاط إضافية لرسم المنحنى

بالإمكان عمل الجدول الآتي ونستفيد منه في الحل

 

—————————————

السؤال السادس:

     أوجد كلاً مما يأتي:

 

b) (x2 + 2x + 1)(x3 + 3x2 + 3x + 5)4 .dx = (3x2 + 6x + 3)(x3 + 3x2 + 3x + 5)4 .dx

 

1     (x3 + 3x2 + 3x + 5)5

= × —————————— + c

3                   5

 

 

 

1

= (x3 + 3x2 + 3x + 5)5 + c

15

 

 1 + cos x

 c) ————— dx

                 sin2 x

 

 1 + cos x                       1          cos x 

 c) ————— dx = ∫( ——— + ——— ) dx

                 sin2 x                     sin2 x      sin2 x

                                 =( csc2x + cotx cscx) dx

                                 =cotx cscx + c

—————————————

السؤال السابع:

                                                                                     i1

i1) إذا كانت [ x Î [ 3 , 0 ,اا|ƒ(x) = 3x|x , فاحسب ƒ(x) dx

                                                                          i3  

 

                  = (0 (27) + (1 0)

 

                  =26

 

i2) أوجد مساحة سطح المنطقة المحصورة بين منحنى y = x2 , والمستقيم y = x + 2 .

     الحل

x2 = x + 2 x2x + 2 = 0 (x 2)(x + 1) = 0 x =−1 , x = 2    حدي التكامل

 

     2                                                              2

  ∫ (x + 2 x2) dx = ( x2/2 + 2x x3/3)│

 −1                                                              1

                                   = ( 4/2 + 2×2 8/3) ( 1/2 + 2×1 (1)/3)

                                   = ( 2 + 4 8/3) ( 1/2 2 +1/3)

                                   = ( 6 8/3) ( 3/2 +1/3)

                                   = 6 8/3 +3/2 1/3

                                   = 7.5 9/3

                                   = 7.5 3

                                   = 4.5 وحدة مربعة

—————————————

السؤال الثامن:

الحل

 

—————————————