الجذور التكعيبية للواحد الصحيح  

المعادلة: أ س2 + ب س + حـ = 0 ، أ ، ب ، حـ أعداد حسابية ، أ ≠ 0 لها جذران هما:                    الأمثلــة        التماريــن

                          ــــــــــــــــــــــــ                                      ــــــــــــــــــــــــ  

              ب + /\ ب2 4 أ حـ                           ب /\ ب2 4 أ حـ

    س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                         2 أ                                                    2 أ

فإذا كان لدينا المعادلة ع3 = 1 فيكون الحل كالآتي: ع3 1 = 0 ،  بالتحليل كفرق بين مكعبين ( ع 1)( ع2+ ع + 1 ) = 0

ومنها:     ع = 1 أو  ع2+ ع + 1 = 0 نستخدم القانون أعلاه حيث أ = 1 ، ب = 1 ، حـ = 1

                         ــــــــــــــــــــــــ                                   ــــــــــــــــــــــــ  

             1 + /\1 411                        1 /\1 411

    ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     ع = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                     2 1                                               2 1

                         ــــــــ                                   ــــــــ  

             1 + /\3                          1 /\3

    ع = ــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     ع = ـــــــــــــــــــــــــــ 

                   2                                        2

                         ــــ                                              ــــ  

             1 + /\3 ت                                1 /\3

    ع = ــــــــــــــــــــــــــــ  = ω      ,       ع = ــــــــــــــــــــــ = ωـ2   أو العكس بأن نضع ωـ2 للجذر الأول و ω  للجذر الثاني

                   2                                              2

 

وعليه تكون الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي:  1 و ω  و ωـ2 الأول حقيقي والآخران تخيليان.

 

وتتصف بالخواص الآتية حيث يسهل برهنتها بالتعويض المباشر

 

(1) مجموعها = صفر  1 + ω  + ωـ2= صفر  ومنها أي جذرين يساوي سالب الثالث ، أيضاً: ل + لω + لωـ2= صفر

 

(2) حصل ضربها = 1    1 ωـ2 ωـ= 1 أي ωـ3= 1

 

       هذه الخاصية تقودنا إلى أن: ωـك = ωـل  حيث ل باقي قسمة ك على 3  فمثلاً ωـ26= ωـ2

 

                                                           ــــ                                            ــــ

(3) الفرق بين الجذرين التخيليين يساوي /\3 ت  أي أن: ( ωـ2 ω) = ـ /\3 ت 

 

(4) مربع أحد الجذرين التخيليين يساوي الآخر أي: ( ωـ2)2 = ωـ4= ω  والآخر واضح

 

 

        1                    1

(5) ـــــــ = ωـ2  ،   ـــــــــ = ω    لأن ωـ3= 1 التي تحل في البسط بدل 1

       ω                  ωـ2

                                                                                   ــــــ                        ــــــ

                                                                        1   /\         1    /\ 3

(6) يمكن كتابة الجذور بالصورة الديكارتية (1 ، 0) ، ( ـــــــ ، ـــــــــــ )  ، ( ـــــــ ، ــــــــــــــ )

                                                                        2        2              2        2

 

         ويمكن وضعها على الصورة القطبية بالصورة الآتية:

 

         نعلم أن س = 1 ، ص = 0 بالنسبة للجذر الأول

                          ــــــــــــــــــــــــ 

         ومنها ل = /\ س2 + ص2 =  1 ، حتاهـ = س ل = س، حاهـ = ص ل = ص أي هـ = 0ه وصورته القطبية ( 1 ، 0ه )

      

بالمثل:

                                       ـــــ 

                                               

                    1            /\ 3                                                                                     1     3   

  نعلم أن س = ـــــ ، ص = ـــــــــــ بالنسبة للجذر الثاني " الزاوية في الربع الثاني" س2 + ص2 = ــــ + ــــ  = 1

                    2                2                                                                                       4     4

                   ــــــــــــــــــــــ 

  ومنها ل = /\ س2+ ص2= 1، حتاهـ = س ل= س، حاهـ = ص ل= ص أي هـ =120ه=2ط /3 وصورته القطبية (1 ،2ط/3)

 

بالمثل:

                                             ـــــ 

                                             

                      1             /\3                                                                                           1    3   

   نعلم أن س = ــــــ  ، ص = ـــــــــــــــ   بالنسبة للجذر الثالث  " الزاوية في الربع الثالث " س2 + ص2 = ــــ + ــــ = 1

                      2                  2                                                                                             4     4

                    ـــــــــــــــــــــ 

   ومنها ل = /\ س2+ ص2=1، حتاهـ = سل= س، حاهـ = صل= ص أي هـ =240ه=4ط 3 وصورته القطبية (1 ،4ط/3)

 

هذه الخواص تلعب دور أساسي في حل المسائل ويجب التركيز عليها وخاصة رقم 3 التي يتجاهلها البعض.