حل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد

المعادلة: أ س2 + ب س + حـ = 0 ، س ' ڪ ، أ ، ب ، حـ أعداد مركبة ، أ ≠ (0 ، 0) لها جذران هما:

                          ــــــــــــــــــــــــ                                      ــــــــــــــــــــــــ  

              ب + /\ ب2 4 أ حـ                           ب /\ ب2 4 أ حـ

    س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                         2 أ                                                    2 أ

 

    عند حل المعادلة سنحسب الجذر التربيعي لناتج  ب2 4 أ حـ حسب أحد الطرق السابق ذكرها.

 

مثال: حل المعادلة س2 6س + 15 = 0

 

الحل: أ = 1 ، ب = 6 ، حـ = 15 بالتعويض في القانون السابق نجد أن:

 

                          ــــــــــــــــــــــــــــــ                                    ــــــــــــــــــــــــــــــ  

              + 6 + /\36 4115                        + 6 /\36 4115

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                         2 1                                                   2 1

                       ــــــــــــــــــــ                                  ـــــــــــــــــــــ  

              6 + /\36 60                           6 /\36 60

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                       2                                                 2

                       ـــــــــــ                                 ـــــــــــــ 

              6 + /\ 24                         6 /\ 24

    س = ــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــ

                  2                                          2

                         ـــــ                                      ـــــ 

              6 + 2/\6 ت                        6 2/\6 ت

    س = ــــــــــــــــــــــــــــ        ,     س = ـــــــــــــــــــــــــ

                  2                                          2

                    ـــــ                                        ـــــ 

    س =3 + /\6 ت              ،      س = 3 /\6 ت       


  

مثال آخر: حل المعادلة (3 ت) س2 10س + 3(1+ 3ت) = 0

 

الحل: أ = 3 ت ، ب = 10 ، حـ = 3(1+ 3ت)     بالتعويض في القانون السابق نجد أن:

 

                             ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                       ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  

              + 10 + /\100 4(3 ت)3(1+ 3ت)                         + 10 /\100 4(3 ت)3(1+ 3ت)

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          ,     س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

                         2 ( 3 ت )                                                                         2 ( 3 ت )     

 

                        ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                     ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

             10 + /\100 72   96ت                           10 /\100 72 96ت

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                        2(3 ت)                                                       2(3 ت)

 

                        ـــــــــــــــــــــــــ                                    ــــــــــــــــــــــــ

             10 + /\28   96ت                           10 /\ 28 96ت                28   96ت = 4(7 24ت)

    س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          ,     س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   2(3 ت)                                           2(3 ت)

 

                           ـــــــــــــــــــ                                      ـــــــــــــــــــ

             10 + 2/\7 24ت                           10 2/\7 24ت              

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                        باختصار  2

                 2(3 ت)                                          2(3 ت)

 

                      ـــــــــــــــــــ                                       ـــــــــــــــــــ

             5 + /\7 24ت                                5 /\7 24ت              

    س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ          ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ      ................. (1) 

                   3 ت                                             3 ت

 

نحسب الجذر التربيعي للمقدار 7 24ت       " نصف 24 = 12 ، 12 = 4 3 ، (4)2 (3)2 = 16 9 = 7

 

7 24ت = 16 24ت 9 = (4)2 24ت + 9ت2 = (4 3ت)2     نعوض في (1) مع أخذ الجذر

 

             5 + (4 3ت)                                  5 (4 3ت)

    س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ            ,     س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

                   3 ت                                             3 ت

 

             5 + 4 3ت                                    5 4 +3ت

    س = ــــــــــــــــــــــــــــ                   ,     س = ـــــــــــــــــــــــــ

                3 ت                                            3 ت

 

              9 3ت                                         1 + 3ت      3 + ت

    س = ـــــــــــــــــــــ                        ,     س = ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ

              3 ت                                            3 ت        3 + ت

 

             3(3 ت)                                         10ت 

    س = ــــــــــــــــــــــ                       ,     س = ــــــــــــــــ

               3 ت                                            9 + 1  

 

    س = 3                                     ،    س = ت


 ماذا لو فكرنا بحلها بطريقة أخرى (المقص كما يسمى)

لاحظ صورة المقص

3( 3 ت)س س(1+ 3ت) = 9س + 3ت س 1س 3ت س = 10س الحد الأوسط

(س 3)[(3 ت)س (1 + 3ت)] = 0

س 3 = 0   أو  (3 ت)س (1 + 3ت) = 0

 

                                 1 + 3ت      3 + ت      10ت      10ت

س = 3         أو س = ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ــــــــــ

                                  3 ت       3 + ت      9 + 1      10

س = 3             س = ت


تمارين:

(1) حل المعادلة الآتية حيث س ' ڪ : س2 + 9 ت س 20 = 0

(2) حل المعادلة س2 + 5 = 0 حيث س ' ڪ

(3) أوجد مجموعة حل المعادلة س3 + 9 س = 0 في ڪ

(4) 2س2 (4 ت) س  + 5 ت = 0