التفاضـل

القسم التاسع2

 أمثلة على المشتقة الأولى للدوال غير الجبرية

مثال(1) :

    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = هـ(2 س + 3)  بالنسبة إلى س

الحل :

    المشتقة الأولى للدالة الأسية هذه = نفس الدالة مشتقة الأس

    ص = هـ(2 س + 3)  2

    ص =2هـ(2 س + 3)


 

مثال(2) :

    إذا كانت د(س) = هـحتا س  فأوجد  د(س)

الحل :

    د(س)  = هـحتا س  حاس

    د(س)  = حاس هـحتا س


 

مثال(3) :

    إذا كانت ص = 7  فأوجد  ص

الحل :

    باستخدام القاعدة يكون

     ص = 7 4 لـوهـ7

     ص =4 7  لـوهـ7

يمكن أخذ اللوغاريتم للطرفين ومن ثم الاشتقاق


 

مثال(4) :

    إذا كانت هـ(3 س ص) = 2 س فأوجد  ص  ،  س 0

الحل :

    بالاشتقاق نحصل على

    هـ(3 س ص) ( 3 ص ) = 2

    2 س ( 3 ص ) = 2

     س ( 3 ص ) = 1

     3 ص = س1

    ص  = 3 س1

   ص  = (3 س 1) س


       

مثال(5) :

    إذا كانت ص = لـوهـ(2 س + 3 ) فأوجد قيمة  ص  ، س < 1.5

الحل :

    حيث أن مشتقة لوغاريتم دالة هو كسر مقامه الدالة وبسطه مشتقتها فإن :

    ص = 2 (2 س + 3)  


 

مثال(6) :

    أوجد قيمة د(43) حيث د(س) = لـو10س2  ، س 0

الحل :

    اللوغاريتم هنا للأساس 10 وأن لـو10هـ = لـو10 2.718 = 0.4343وبالتالي تكون المشتقة لهذا الأساس (10) تختلف عن الأساس هـ بالضرب في 0.4343 وعليه يكون :

    د(س) = 0.4343 2 س س2 

    د(س) = 0.4343 2 س 

    د(43) = 0.4343 2 43 

    د(43) = 0.0202


 

مثال(7) :

    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = لـوأ(3س)

الحل :

    ص = لـوأهـ ( 3 3س )

    ص = (لـوأهـ) س

    ص = س1(لـوأهـ)


 

 مثال(8) :

    إذا كانت د(س) = لـوهـحتا4(2س)   فأوجد  د( 22.5 ه) ، س ' [ 0 ، ط/4 [

الحل :

   د(س) = 4 حتا3(2س) ( حا2س) 2 حتا4(2س)

  د(س) = 8 حا2س حتا(2س)

 د(س) = 8 طا2س

 د( 22.5 ه) = 8 طا45 ه

 د( 22.5 ه) = 8


 

 مثال(9) :

    إذا كانت د(س) = لـوهـ[( س 1)( س 2) 3 س2] فأوجد د(س) ، س <2

الحل :

    دالة لوغاريتمي بفضل تطبيق قواعدها فيكون :

     د(س) = لـوهـ( س 1) +  لـوهـ( س 2)   لـوهـ3    لـوهـ س2

    د(س) = لـوهـ( س 1) +  لـوهـ( س 2)   لـوهـ3  2 لـوهـ س

  د(س) = 1 (س 1) + 1 (س 2) صفر 2 س

  د(س) = 1 (س 1) + 1 (س 2) 2 س


 

مثال(10) :

    أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = ( 2 س )

الحل :

    لـوهـص = لـوهـ( 2 س )

    لـوهـص = 3 س  لـوهـ( 2 س )

   ص ص  = 3 س 1 ( 2 س ) + 3 لـوهـ( 2 س )

   ص = ص [3 س ( 2 س ) + 3 لـوهـ( 2 س )]

   ص = ( 2 س )  [3 س ( 2 س ) +  لـوهـ( 2 س )3]


 

تمارين :

أوجد المشتقة الأولى لكل من الدوال الآتية كلاً معرف في مجاله :

(1) ص = س(1 س)

(2) د(س) = س لـوهـ(س ص)

(3) ص = لـوهـ(1 + س)4

(4) د(س) = ( س لـوهـ س)س 

(5) ص = (س)حاس

(6) ص = (حاس)طاس